Esercizi applicando la definizione di derivata

Prof. Mauro La Barbera

ESERCIZI SULLE DERIVATE

1) Calcolare, nel punto di ascissa , la derivata della funzione , servendosi della sola definizione di derivata.

Si ricorda la definizione di derivata in un punto:

La derivata della funzione nel suo punto di ascissa è il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell’incremento h della variabile,

ossia :

Pertanto, si ha:

Quindi, sostituendo nel limite, si ottiene:

2) Calcolare, nel punto di ascissa , la derivata della funzione , servendosi della sola definizione di derivata.

Pertanto, si ha:

Quindi, per la definizione di derivata in un punto, si ottiene:

3) Calcolare, nel punto di ascissa , la derivata della funzione , servendosi della sola definizione di derivata. Interpretare geometricamente l’esercizio.

Pertanto, si ha:

Quindi, per la definizione di derivata in un punto, si ottiene:

Il valore 2 è il coefficiente angolare della retta tangente alla parabola di equazione nel punto di tangenza .

1° metodo:

Per trovare l’equazione della retta tangente nel punto di tangenza si può applicare la regola dello sdoppiamento all’equazione della curva, cioè:

dove e sono le coordinate del punto di tangenza, pertanto, sostituendo si ottiene:

ossia:

che è l’equazione della retta tangente, avente come coefficiente angolare il valore 2.

2° metodo:

Oppure, si perviene alla stessa conclusione, utilizzando la formula per trovare l’equazione della retta, conoscendo le coordinate del punto di tangenza e il coefficiente angolare, cioè:

ossia:

Sostituendo , e , si ottiene:

cioè:

Graficamente si ha:

(Vedi anche relativo programma in Excel)

4) Calcolare, nel punto di ascissa , la derivata della funzione , servendosi della sola definizione di derivata. Interpretare geometricamente l’esercizio.