Mauro La Barbera

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Analisi

 

Classe quinta

 

FRAMMENTI DI TEORIA

 

1)              Concetto di funzione.

 

La funzione è una legge (o una relazione) che associa ad un elemento  di un insieme un solo elemento  di un altro insieme.

 

 

2)              Classificazione delle funzioni.

 

ALGEBRICHE                                                                                                  

                                                                                                                     

RAZIONALI              IRRAZIONALI                                                                                 

 


                                                                                                                                             

 

INTERE      FRATTE      INTERE      FRATTE                                                                 

                         

 

 

                   TRASCENDENTI         (NON ALGEBRICHE)

 

Trigonometriche       

 

Logaritmiche            

 

Esponenziali             

 

 

3)              Funzione algebrica.

 

Si dice algebrica quando la sua equazione ha la forma polinomiale, se non è algebrica si dice trascendente.

 

 

4)              Funzione razionale.

 

Si dice razionale quando la variabile  non è sotto il “segno di radice”, se non è razionale si dice irrazionale.

 

 

5)              Funzione intera.

 

Si dice intera quando la variabile  si trova solo al numeratore, se non è intera si dice fratta o frazionaria.

 

 

6)              Campo di esistenza.

 

C.E. o dominio di una funzione è l’insieme  di tutti i valori reali che si possono attribuire alla variabile  per determinare i valori corrispondenti della .

 

 

7)              Campo della variabilità.

 

C.V. o codominio di una funzione è l’insieme  dove i suoi elementi sono tutte le immagini degli elementi di .

 

 

8)              Definizioni di funzioni pari e dispari.

 

v La funzione è pari quando è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate, ossia

 

.

 

Un esempio di funzione pari è la parabola di equazione:  .

 

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v  La funzione è dispari quando è simmetrica rispetto all’origine degli assi, ossia

 

.

 

Un esempio di funzione dispari è la parabola cubica di equazione:  .

 

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9)              Funzioni Monotone.

 

Classificazione:

 

monotona in senso stretto: funzione crescente

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monotona in senso stretto: funzione decrescente

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monotona in senso largo: funzione non decrescente

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funzione monotona in senso largo: funzione non crescente

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            Definizioni:

 

v     Funzione monotona crescente                     

 

 

v     Funzione monotona decrescente                  

 

 

v     Funzione monotona non decrescente           

 

 

v     Funzione monotona non crescente              

 

 

 

10)    Reciproche posizioni tra una retta ed una curva.

 

Per esempio, consideriamo una retta ed una parabola:

 

 

1)               La parabola è esterna alla retta, viceversa, la retta è esterna alla parabola (non si intersecano).

 

 

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2)        La parabola è secante alla retta, viceversa, la retta è secante alla parabola (si intersecano in due punti distinti).

 

 

 

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3)        La parabola è tangente alla retta, viceversa, la retta è tangente alla parabola (si intersecano in due punti coincidenti).

 

 

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11)    Convessità di una curva.

 

·       Una curva si dice CONVESSA VERSO IL BASSO ( CONCAVA VERSO L’ALTO)  in un punto se la tangente passante per quel punto si trova al di sotto della curva

 

 

 

 

 

12)    Punto di flesso.

 

·       Il punto di flesso è un punto dove la curva cambia di concavità, la retta che passa per quel punto è una tangente.

 

 

13)    Classificazione dei punti di flesso.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14)      Massimi e minimi relativi.

 

Si dice che la funzione f ha in  un punto di massimo [rispettivamente minimo] relativo se esiste un intorno di  tale che per ogni x del dominio in tale intorno si ha che  [rispettivamente  ].

L’ascissa  , in generale, si chiama estremante. Se è l’ascissa del punto di massimo si dice massimante, invece se è l’ascissa del punto di minimo si dice minimante.

 

 

15)      Funzione continua in un punto

 

·       Una funzione si dice continua in un punto di ascissa  se si verifica la seguente  uguaglianza:

.

 

                                                Ossia quando si verificano le tre condizioni:

 

                                     I.     Esiste il valore della funzione nel punto di ascissa   ;

                                   II.     Esiste il limite finito della funzione per  che tende ad  ;

                                 III.     Il limite coincide con il valore della funzione nel punto di ascissa  .

 

Cioè:

 

                                     I.      ;

                                   II.      ;

                                 III.      .         

     

                                               

16)      Funzione continua in un intervallo

 

Una funzione si dice continua in un intervallo se è continua in tutti i punti dell’intervallo.

 

 

17)       Punto di discontinuità

 

Si definisce punto di discontinuità quel punto di ascissa  dove la funzione non risulta continua.

 

 

18)           Classificazione dei punti di discontinuità

 

Ø  Si dice di prima specie quando in  esistono finiti i limiti desto e sinistro e sono fra loro distinti, ossia:

 

Ø  Si dice di seconda specie quando in  o non esiste almeno uno dei due limiti, destro e sinistro, oppure quando almeno uno di questi due limiti vale infinito, in quest’ultima ipotesi si dice che la funzione ha, in , un punto di infinito.

 

Ø  Si dice di terza specie, se esiste finito il  ma il valore di  o non esiste in , oppure esiste ma risulta: . In questo caso si dice anche  che nel punto si presenta per la funzione una discontinuità eliminabile.

 

 

19)           Asintoto

 

L’asintoto è una retta che risulta essere tangente ad una curva nel suo punto all’infinito. Se la tangente è parallela all’asse delle ordinate allora l’asintoto si dice verticale, se la tangente è parallela all’asse delle ascisse allora l’asintoto si dice orizzontale, se la tangente risulta essere inclinata rispetto agli assi cartesiani allora l’asintoto si dice obliquo.

 

 

20)           Asintoto verticale

 

Si dice che la retta di equazione  è un asintoto verticale per il grafico della funzione  se  .

 

 

21) Asintoto orizzontale

 

Si dice che la retta di equazione  è un asintoto orizzontale a destra per il grafico della funzione  se  .

 

Si dice che la retta di equazione  è un asintoto orizzontale a sinistra per il grafico della funzione  se  .

 

 

22) Asintoto obliquo

 

Si dice che la retta di equazione  è un asintoto obliquo a destra per il grafico della funzione  se esistono finiti i seguenti limiti:  con  e

 

Si dice che la retta di equazione  è un asintoto obliquo a sinistra per il grafico della funzione  se esistono finiti i seguenti limiti:  con  e

 

 

23)       Rapporto incrementale

 

Si dice rapporto incrementale della funzione  relativo al punto di ascissa  e all’incremento  la quantità: 

 

E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se , mentre si dice rapporto incrementale sinistro se .

 

 

24)       Significato geometrico di rapporto incrementale

 

Il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è il coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto di ascissa incrementata.

 

25)           Derivata di una funzione

 

Chiamasi derivata della funzione  nel suo punto di ascissa  il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale al tendere a zero dell’incremento h della variabile, ossia:  . La derivata della funzione  nel punto di ascissa  si suole indicare con una qualunque delle seguenti notazioni:   ,    oppure  .

 

26)      Significato geometrico della derivata di una funzione

La derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto.              

 

File.doc

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