Prof. Mauro La Barbera
“Omotetia
nel piano cartesiano”
Competenze:
Ø
Usare le
tecniche e le procedure di calcolo aritmetico ed algebrico.
Ø Utilizzare il linguaggio e i metodi propri
della matematica per organizzare e valutare adeguatamente informazioni
qualitative e quantitative
Abilità:
v
Saper
applicare la condizione di parallelismo e perpendicolarità tra le rette del piano.
v
Saper
determinare le equazioni dell’omotetia.
v Saper calcolare le misure delle figure nel
piano cartesiano.
v Saper costruire figure nel piano cartesiano.
Nel
piano cartesiano Oxy disegnare il quadrato 
avente per vertici i punti 
, 
, 
e 
.
Determinare:
a)
la misura del lato AB;
b)
il perimetro del quadrato ABCD;
c)
l’area del quadrato ABCD;
d)
il baricentro del quadrato ABCD.
Dopo
aver disegnare il quadrato A’B’C’D’ trasformato dall’omotetia di centro l’origine
degli assi cartesiani e di rapporto 
applicata al quadrato ABCD, determinare:
e)
la misura del lato A’B’;
f)
il perimetro del quadrato A’B’C’D’;
g)
l’area del quadrato A’B’C’D’;
h)
il baricentro del quadrato A’B’C’D’.
Inoltre, verificare che la retta r passante per i punti A e B e la retta s passante per
A’ e B’ sono parallele.
Svolgimento
Per determinare la misura del lato AB del
quadrato ABCD si applica la seguente formula:
.
Sapendo che il perimetro di un quadrato è 
si ha 
.
Sapendo che l’area di un quadrato è 
si ha 
Per determinare le coordinate del baricentro
del quadrato ABCD si applica la seguente formula:
Per
disegnare il quadrato A’B’C’D’ trasformato dall’omotetia di centro l’origine
degli assi cartesiani e di rapporto applicata al quadrato ABCD, si utilizzano le
seguenti equazioni:
Pertanto
il quadrato A’B’C’D’ omotetico al quadrato ABCD ha per vertici i seguenti punti
omotetici 
, 
, 
e 
.
Gli elementi omotetici richiesti sono:
.
.
.
.
Per determinare l’equazione della retta r
passante per i punti A e B si applica la
formula:
Analogamente si trova la retta s passante
per A’ e B’
Quindi le rette r ed s sono parallele perché
hanno stesso coefficiente angolare.
Osservazione:
Per determinare l’area di un quadrato
conoscendo le coordinate dei suoi vertici si può applicare la seguente formula:
Sostituendo i valori delle coordinate si
ottiene
Sviluppando il determinante si ha
Pertanto
.