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Prof.  Mauro La Barbera

 

“Omotetia nel piano cartesiano”

 

Competenze:

Ø  Usare le tecniche e le procedure di calcolo aritmetico ed algebrico.

Ø  Utilizzare il linguaggio e i metodi propri della matematica per organizzare e valutare adeguatamente informazioni qualitative e quantitative

Abilità:

v Saper applicare la condizione di parallelismo e perpendicolarità  tra le rette del piano.

v Saper determinare le equazioni dell’omotetia.

v Saper calcolare le misure delle figure nel piano cartesiano.

v Saper costruire figure nel piano cartesiano.

 

 

Nel piano cartesiano Oxy disegnare il quadrato  avente per vertici i punti   ,  ,  e . Determinare:

a)      la misura del lato AB;

b)      il perimetro del quadrato ABCD;

c)       l’area del quadrato ABCD;

d)      il baricentro del quadrato ABCD.

 

Dopo aver disegnare il quadrato A’B’C’D’ trasformato dall’omotetia di centro l’origine degli assi cartesiani e di rapporto  applicata al quadrato ABCD, determinare:

e)       la misura del lato A’B’;

f)       il perimetro del quadrato A’B’C’D’;

g)      l’area del quadrato A’B’C’D’;

h)      il baricentro del quadrato A’B’C’D’.

 

Inoltre, verificare che la retta r passante  per i punti A e B e la retta s  passante per  A’ e B’ sono parallele.

 

Svolgimento

Descrizione: Descrizione: Descrizione: Descrizione: C:\Users\Mauro\Desktop\Sito\Omotetia_quadrato\quadrato.png

Per determinare la misura del lato AB del quadrato ABCD si applica la seguente formula:

 .

Sapendo che il perimetro di un quadrato è   si ha   .

Sapendo che l’area di un quadrato è  si ha 

Per determinare le coordinate del baricentro del quadrato ABCD si applica la seguente formula:

 

Per disegnare il quadrato A’B’C’D’ trasformato dall’omotetia di centro l’origine degli assi cartesiani e di rapporto  applicata al quadrato ABCD, si utilizzano le seguenti equazioni:

Pertanto il quadrato A’B’C’D’ omotetico al quadrato ABCD ha per vertici i seguenti punti omotetici  ,  ,  e .

Descrizione: Descrizione: Descrizione: Descrizione: C:\Users\Mauro\Desktop\Sito\Omotetia_quadrato\omotetia_quadrato3.png

Gli elementi omotetici richiesti sono:

 .

 .

 .

 .

Per determinare l’equazione della retta r passante  per i punti A e B si applica la formula:

Analogamente si trova la retta s passante per  A’ e B’

Quindi le rette r ed s sono parallele perché hanno stesso coefficiente angolare.

 

Osservazione:

Per determinare l’area di un quadrato conoscendo le coordinate dei suoi vertici si può applicare la seguente formula:

Sostituendo i valori delle coordinate si ottiene

Sviluppando il determinante si ha

Pertanto   .