Prof. Mauro La Barbera
TEOREMA SULLA
CONTINUITA’ DELLE FUNZIONI DERIVBILI
Enunciato:
Se la funzione 
è derivabile nel suo
punto di ascissa 
, essa è, ivi, continua.
Cioè: Hp: 
Ts: 
Dimostrazione:
Essendo, per ipotesi, la
funzione derivabile nel suo
punto di ascissa , vuol dire che esiste ed è finito il limite del rapporto
incrementale della funzione nell’intorno di , al tendere a zero dell’incremento h della variabile, ossia:
Dalla identità:
e passando all’operazione
di limite si ha:
Per le
proprietà dei limiti si può scrivere:
,
il che prova, che la
funzione è continua nel punto .
Osservazioni:
Non vale il viceversa del
Teorema, ossia una funzione può essere continua senza che in quel punto sia
derivabile. Invece è sempre vera la contronominale del Teorema, cioè se una
funzione non è continua in un punto, ivi, non può essere derivabile.