Prof. Mauro
STUDIO
DELLA FUNZIONE BIQUADRATICA
1) Classificazione e Campo di esistenza :
Funzione algebrica razionale intera di
quarto grado, C.E.: 
(simbologia
insiemistica) , oppure 
(simbologia topologica).
2) Simmetrie :
Si pone 
allora: 
ossia: 
, quindi la funzione è simmetrica rispetto all’asse
delle ordinate, perché: 
(funzione
pari).
3)
Studio del segno :
Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:
cioè: 
, pertanto, si può
scrivere:
1 fattore: 
,
2 fattore: 
per 
.
Quindi per 
e per
la funzione è positiva, mentre per 
e per 
la funzione è
negativa, infine per 
e per 
la funzione è nulla.
4) Intersezioni con
gli assi cartesiani :
ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.
ossia interseca l’asse delle x, oltre nel punto di origine,
anche nei punti 
e 
.
5) Andamento della funzione agli estremi
dell’intervallo :
e 
.
6) Crescenza e/o decrescenza :
Si calcola la derivata prima della funzione, cioè: 
, si pone poi la
derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè: 
, ossia: 
, pertanto, si ottiene:
1 fattore: 
cioè 
,
2 fattore: 
cioè 
.
Quindi, la funzione data è decrescente per 
e per 
, mentre è crescente
per 
e per 
. Infine è costante
per 
e per .
7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale :
La funzione data ha nei punti 
e 
due minimi relativi,
mentre ha un massimo relativo nell’origine degli assi cartesiani.
8)
Concavità e/o convessità :
Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: 
.
Si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè: 
, pertanto, si ottiene 
e 
.
Quindi la funzione è concava verso l’alto per 
e 
, mentre è concava verso il basso per 
.
Inoltre, la derivata seconda è nulla per 
.
9)
Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua :
La funzione data presenta due punti d’inflessione, e precisamente:
, punto di flesso a
tangente obliqua ascendente e
, punto di flesso a
tangente obliqua discendente.
10)
Grafico :
