Prof. Mauro
STUDIO
DELLA FUNZIONE CUBICA
1) Classificazione e Campo di esistenza
Funzione
algebrica razionale intera di terzo grado, parabola cubica, la sua forma
implicita è 
. C. E.:
(simbologia insiemistica) o 
(simbologia topologica).
2) Simmetrie
Si pone 
allora 
ossia 
, quindi la funzione non è simmetrica sia rispetto
all’asse delle ordinate (pari) che rispetto all’origine degli assi cartesiani
(dispari), perché: 
.
3)
Studio del segno
Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:
cioè: 
, pertanto, si può
scrivere:
1 fattore: 
(la disequazione è
sempre verificata),
2 fattore: 
cioè per 
.
Quindi, per 
la funzione è
positiva, mentre per 
e per 
la funzione è
negativa. Infine, per 
e per 
la funzione è nulla.
4) Intersezioni con gli assi cartesiani
ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.
interseca l’asse delle x, oltre nel punto 
, anche nel punto 
.
5) Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo del
dominio
Poiché
l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione negli estremi
dell’intervallo del campo di esistenza. Pertanto, per 
si ha 
. Il
limite dà una forma indeterminata, per eliminare la forma di indecisione si
mette in evidenza la 
di grado massimo, cioè
, mentre per 
si ottiene che 
.
6) Crescenza e/o
decrescenza
Si calcola la
derivata prima della funzione, cioè: 
, si pone poi la
derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè: 
, ossia: 
, pertanto, si ottiene:
1 fattore: 
cioè 
,
2 fattore: 
cioè 
.
Quindi, la
derivata prima è negativa per 
, pertanto, la funzione data è decrescente per , mentre negli intervalli
dove la derivata prima è positiva, cioè per e per 
, la cubica è crescente. Infine, nei punti dove
la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per 
e per .
7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente
orizzontale
Nell’intorno del valore 0 la derivata prima presenta la seguente combinazione di segni:
pertanto 
è un massimante,
essendo 
la funzione data ha
nel punto un punto di massimo
relativo, mentre nell’intorno del valore 2
la derivata prima presenta la
seguente combinazione di segni:
pertanto 2 è un minimante, essendo 
la funzione data ha
nel punto
un minimo relativo.
8)
Concavità e/o convessità
Si calcola la
derivata seconda della funzione, cioè: 
, si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero,
cioè: 
, pertanto si ottiene 
. Quindi la funzione data è concava verso l’alto
nell’intervallo dove la derivata seconda è positiva, ossia per 
, mentre è concava verso il basso nell’intervallo dove la
derivata seconda è negativa, cioè per 
, inoltre la derivata
seconda è nulla per 
.
9)
Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua
Poiché
e 
(coefficiente angolare
negativo della retta tangente), la funzione data presenta in 
un punto di flesso a
tangente obliqua discendente. Per determinare l’equazione della retta tangente
in 
si applica la seguente
equazione: 
dove 
. Pertanto, si ottiene 
cioè 
.
10) Grafico
