Prof. Mauro La Barbera

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Analisi

Classe quinta

STUDIO DELLA FUNZIONE CUBICA

 

 

 

1)   Classificazione e Campo di esistenza  

 

Funzione algebrica razionale intera di terzo grado, parabola cubica, la sua forma implicita è . C. E.: (simbologia insiemistica) o (simbologia topologica).

 

 

2)   Simmetrie

 

Si pone  allora  ossia , quindi la funzione non è simmetrica sia rispetto all’asse delle ordinate (pari) che rispetto all’origine degli assi cartesiani (dispari), perché:  .

 

 

3)     Studio del segno

 

Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:

       cioè:  , pertanto, si può scrivere:

      1 fattore:  (la disequazione è sempre verificata),

      2 fattore:  cioè per  .

 

 

Quindi, per  la funzione è positiva, mentre per  e per  la funzione è negativa. Infine, per   e per  la funzione è nulla.

 

 

 

4)   Intersezioni con gli assi cartesiani

 

ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.

interseca l’asse delle x, oltre nel punto , anche nel punto  .

 

 

5)   Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo del dominio

 

Poiché l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione negli estremi dell’intervallo del campo di esistenza. Pertanto, per  si ha   .  Il limite dà una forma indeterminata, per eliminare la forma di indecisione si mette in evidenza la  di grado massimo, cioè , mentre per  si ottiene che  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


6)   Crescenza e/o decrescenza

 

Si calcola la derivata prima della funzione, cioè:  , si pone poi la derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè:  , ossia: , pertanto, si ottiene:

 

 

1 fattore:  cioè ,

2 fattore:  cioè .

 

 

 

Quindi, la derivata prima è negativa per , pertanto, la funzione data è decrescente per  , mentre negli intervalli dove la derivata prima è positiva, cioè per  e per  ,  la cubica è crescente. Infine, nei punti dove la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per  e per .

 

 

7)   Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale

     

Nell’intorno del valore 0 la derivata prima presenta la seguente combinazione di segni:

 

 

pertanto  è un massimante, essendo  la funzione data ha nel punto  un punto di massimo relativo, mentre nell’intorno del valore 2 la derivata prima presenta la seguente combinazione di segni:

 

pertanto 2 è un minimante, essendo  la funzione data ha nel punto un minimo relativo.

 

 

8)     Concavità e/o convessità

 

Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: , si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè: , pertanto si ottiene . Quindi la funzione data è concava verso l’alto nell’intervallo dove la derivata seconda è positiva, ossia per , mentre è concava verso il basso nell’intervallo dove la derivata seconda è negativa, cioè per  , inoltre la derivata seconda è nulla per .

 

 

 

9)     Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua

 

Poiché  e  (coefficiente angolare negativo della retta tangente), la funzione data presenta in  un punto di flesso a tangente obliqua discendente. Per determinare l’equazione della retta tangente in  si applica la seguente equazione:   dove  . Pertanto, si ottiene  cioè .

 

 

10)   Grafico

 

 

 

 

 

 

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