Prof. Mauro La Barbera

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Analisi

Classe quinta

STUDIO DELLA FUNZIONE CUBICA

 

 

 

 

1)   Classificazione e Campo di esistenza

 

   Funzione algebrica razionale intera di terzo grado, parabola cubica. C. E.:  (simbologia insiemistica) oppure  (simbologia topologica).

 

 

2)   Simmetrie

 

Si pone  allora  ossia , quindi la funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani, perché:  .

 

 

3)     Studio del segno

 

Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:

       cioè:  , pertanto, si può scrivere:

      1 fattore: ,

      2 fattore:  per  .

 

 

 

 

 

Quindi, per  e per  la funzione è positiva, mentre per  e per  la funzione è negativa. Infine, per   e per  la funzione è nulla.

 

 

 

 

4)   Intersezioni con gli assi cartesiani

 

ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.

ossia interseca l’asse delle ascisse nei punti ,   e .

 

 

5)   Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo del dominio

 

Poiché l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione per  e per  , cioè    e   .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


6)   Crescenza e/o decrescenza

 

Si calcola la derivata prima della funzione, cioè:  , si pone poi la derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè:  , pertanto, la disequazione è verificata per , cioè per  .

Quindi, la derivata prima è negativa per , pertanto, in questo intervallo la funzione data è decrescente, mentre negli intervalli dove la derivata prima è positiva, cioè per  e per  ,  la cubica è crescente. Infine, nei punti dove la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per .

 

 

 

7)   Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale

     

La funzione data ha nel punto  un massimo relativo, mentre nel punto  ha un minimo relativo.

 

 

 

8)     Concavità e/o convessità

 

Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: , si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè: , pertanto si ottiene . Quindi la funzione data è concava verso l’alto nell’intervallo dove la derivata seconda è positiva, ossia per , mentre è concava verso il basso nell’intervallo dove la derivata seconda è negativa, cioè per  .

 

 

 

9)     Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua

 

Poiché  e  la funzione data presenta in  un punto di flesso a tangente obliqua discendente. Per determinare l’equazione della retta tangente nell’origine degli assi cartesiani si applica la seguente equazione:   dove  . Pertanto, si ottiene .

 

 

 

10) Grafico

 

 

 

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