Prof. Mauro
STUDIO
DELLA FUNZIONE CUBICA
1) Classificazione e Campo di esistenza
Funzione
algebrica razionale intera di terzo grado, parabola cubica. C. E.:
(simbologia
insiemistica) oppure 
(simbologia
topologica).
2) Simmetrie
Si pone 
allora 
ossia 
, quindi la funzione è simmetrica rispetto all’origine
degli assi cartesiani, perché: 
.
3)
Studio del segno
Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:
cioè: 
, pertanto, si può
scrivere:
1 fattore: 
,
2 fattore: 
per 
.
Quindi, per 
e per 
la funzione è
positiva, mentre per 
e per 
la funzione è
negativa. Infine, per 
e per 
la funzione è nulla.
4) Intersezioni con gli assi cartesiani
ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.
ossia interseca l’asse delle ascisse nei punti
, 
e 
.
5) Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo del
dominio
Poiché l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione per 
e per 
, cioè 
e 
.
6) Crescenza e/o decrescenza
Si calcola la derivata prima della funzione, cioè: 
, si pone poi la
derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè: 
, pertanto, la
disequazione è verificata per 
, cioè per 
.
Quindi, la derivata prima è negativa per 
, pertanto, in questo intervallo la funzione data è
decrescente, mentre negli intervalli dove la derivata prima è positiva, cioè
per 
e per 
, la cubica è crescente. Infine, nei punti dove
la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per 
.
7) Massimi, minimi relativi e flessi a tangente orizzontale
La funzione
data ha nel punto 
un massimo relativo,
mentre nel punto 
ha un minimo relativo.
8)
Concavità e/o convessità
Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: 
, si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero, cioè:
, pertanto si ottiene . Quindi la funzione data è concava verso l’alto
nell’intervallo dove la derivata seconda è positiva, ossia per 
, mentre è concava verso il basso nell’intervallo dove la
derivata seconda è negativa, cioè per 
.
9)
Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua
Poiché 
e 
la funzione data
presenta in 
un punto di flesso a
tangente obliqua discendente. Per determinare l’equazione della retta tangente
nell’origine degli assi cartesiani si applica la seguente equazione: 
dove 
. Pertanto, si ottiene 
.
10) Grafico
