Prof. Mauro
STUDIO DELLA FUNZIONE CUBICA
1) Classificazione e Campo di esistenza
Funzione algebrica razionale intera di
terzo grado, parabola cubica, la sua forma implicita è .
C. E.: (simbologia insiemistica) o
(simbologia topologica).
2) Simmetrie
Si
pone allora
ossia
, quindi la funzione non è simmetrica sia
rispetto all’asse delle ordinate (pari) che rispetto all’origine degli assi
cartesiani (dispari), perché:
.
3) Studio del segno
Si pone il secondo membro dell’equazione
della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:
cioè:
, pertanto, si può
scrivere:
1 fattore: (la disequazione è
sempre verificata),
2 fattore: cioè
quindi per
.
Quindi,
per la funzione è
positiva, mentre per
e per
la funzione è
negativa. Infine, per
e per
la funzione è nulla.
4) Intersezioni con gli assi
cartesiani
ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.
interseca l’asse delle x, oltre nel punto
, anche nel punto
.
5) Andamento della funzione agli estremi dell’intervallo del dominio
Poiché
l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione negli estremi
dell’intervallo del campo di esistenza. Pertanto, per
si ha
. Il
limite dà una forma indeterminata, per eliminare la forma di indecisione si
mette in evidenza la
di grado massimo, cioè
, mentre per
si ottiene che
6) Crescenza e/o decrescenza
Si
calcola la derivata prima della funzione, cioè: , si pone poi la derivata
prima maggiore o uguale a zero, cioè:
, ossia:
, pertanto, si ottiene:
1
fattore: cioè
,
2
fattore: cioè
.
Quindi,
la derivata prima è negativa per , pertanto, la funzione data è decrescente per
, mentre negli
intervalli dove la derivata prima è positiva, cioè per
e per
, la cubica è crescente. Infine, nei punti dove
la derivata prima è nulla si ha che la funzione data è costante, ossia per
e per
.
7) Massimi, minimi relativi e
flessi a tangente orizzontale
Nell’intorno
del valore 0 la derivata prima presenta la seguente combinazione di segni:
pertanto
è un massimante,
essendo
la funzione data ha
nel punto
un punto di massimo relativo,
mentre nell’intorno del valore 2 la derivata prima presenta la seguente
combinazione di segni:
pertanto
2 è un minimante, essendo la funzione data ha
nel punto
un minimo relativo.
8) Concavità e/o convessità
Si
calcola la derivata seconda della funzione, cioè: , si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero,
cioè:
, pertanto si ottiene
. Quindi la funzione data è concava verso l’alto
nell’intervallo dove la derivata seconda è positiva, ossia per
, mentre è concava verso il basso nell’intervallo dove la
derivata seconda è negativa, cioè per
, inoltre la derivata
seconda è nulla per
.
9) Ricerca di ulteriori punti di flesso
a tangente obliqua
Poiché e
(coefficiente angolare
negativo della retta tangente), la funzione data presenta in
un punto di flesso a tangente
obliqua discendente. Per determinare l’equazione della retta tangente in
si applica la seguente
equazione:
dove
. Pertanto, si ottiene
cioè
.
10)
Grafico