Prof. Mauro La Barbera

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Analisi     Classe Quinta     Derivata

 

DERIVATA DI UNA FUNZIONE

 

 

RAPPORTO INCREMENTALE

 

Sia  una funzione reale definita in un intervallo  e sia  un punto del grafico della funzione, con la condizione che  sia un valore interno all’intervallo, cioè . Indicato con h un numero positivo o negativo in modo che sia verificata la condizione  , si dice che si è dato alla variabile x l’incremento h.

Graficamente si ha:

 

 

Si dice rapporto incrementale della funzione  relativo al punto di ascissa  e all’incremento h la quantità:

E precisamente si chiama rapporto incrementale destro se , mentre si dice rapporto incrementale sinistro se .

 

SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL RAPPORTO INCREMENTALE

 

Ricordando che il coefficiente angolare di una retta è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due punti qualunque della retta, cioè

 

 ,

 

e prendendo in considerazione i due punti  e  , punti d’intersezione della curva con la retta secante s (vedi figura 1), risulta che:

 

 .

 

Ossia:

 

il rapporto incrementale di una funzione nell’intorno di un suo punto è il coefficiente angolare della retta secante passante per il punto dato e per il punto di ascissa incrementata.

 

 

DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN SUO PUNTO

 

Chiamasi derivata della funzione  nel suo punto di ascissa  il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale della funzione al tendere a zero dell’incremento h della variabile,

 ossia :

 

 .

 

La derivata della funzione  nel punto di ascissa  si suole indicare con una qualunque delle seguenti notazioni:

  ,    oppure  .

La derivata (prima)  della funzione è quindi definita dalla seguente relazione:

 

 .

 

Può darsi che, pur non esistendo il limite per h che tende a zero del rapporto incrementale, esista e sia finito tuttavia il limite a desta o il limite a sinistra, questi si chiameranno allora, rispettivamente, derivata destra e derivata sinistra della funzione  in , e si rappresenteranno con i simboli  e  , si ha quindi, per definizione:

 

 

e

 

 .

 

 

 

SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA

 

 

Partendo dal significato geometrico del rapporto incrementale e osservando che al tendere di h a zero, il punto Q tende a P e la retta secante , passante per i punti P e Q , tende a disporsi tangente alla curva nel punto P, si può affermare che:

 

la derivata di una funzione in un suo punto è uguale al coefficiente angolare della tangente alla curva in quel punto.

 

Graficamente si ha:

 

Visualizzazione grafica

CENNI STORICI

 

Il concetto di derivata di una funzione di una variabile è uno dei più importanti e fecondi della Matematica, ed è quello su cui si basa il calcolo differenziale. Tracce di questo calcolo si riscontano presso gli antichi geometri, specialmente in Archimede (matematico e fisico siracusano: 287 a.C. – 212 a.C.), ma come fondatori si devono considerare Newton (inglese: 1642-1727) e Leibniz (tedesco: 1646-1716) i quali, indipendentemente l’uno dall’altro, vi pervennero nel secolo XVII.

 

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