Prof. Mauro La Barbera

 

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Classe terza

 

Geometria analitica

Fascio proprio di rette

 

ESERCIZI   SVOLTI

 

 

 

 

Dopo aver scritto l’equazione del fascio proprio F di rette di centro  determinare:

a.            la retta a del fascio parallela alla retta s di equazione: ;

b.            la retta b del fascio perpendicolare alla retta t di equazione:;

c.             la retta c del fascio parallela all’asse delle ascisse;

d.            la retta d del fascio passante per .

 

Data l’equazione del fascio proprio:  dove  è il centro del fascio, si sostituiscono le coordinate del punto , cioè

, tale equazione esprime l’insieme di tutte le rette passante per il punto , ad eccezione della retta del fascio parallela all’asse delle ascisse, cioè , cioè l’equazione della retta c.

 

Per trovare la retta a del fascio bisogna applicare la condizione di parallelismo tra due rette del piano scritte in forma esplicita, cioè due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, ossia: , pertanto essendo  il coefficiente angolare della retta s, si ha palesemente che anche . Sostituendo nell’equazione del fascio il valore 4 del coefficiente angolare si ottiene: , quindi si è trovata l’equazione della retta a parallela alla retta s.

 

Per trovare la retta b del fascio bisogna applicare la condizione di perpendicolarità tra due rette del piano scritte in forma esplicita, cioè due rette sono perpendicolari quando i coefficienti angolari sono antireciproci , ossia reciproci ed opposti, ossia: , pertanto essendo  il coefficiente angolare della retta t, si ha che . Sostituendo nell’equazione del fascio il valore  del coefficiente angolare si ottiene: , quindi si è trovata l’equazione della retta b perpendicolare alla retta t.

 

Per trovare la retta d del fascio si sostituiscono le coordinate del punto nell’equazione del fascio, ricordando che un punto appartiene ad una retta quando le sue coordinate sono le soluzioni dell’equazione che esprime la retta, pertanto ha senso scrivere:

.

Quindi essendo  il coefficiente angolare della retta d, si sostituisce tale valore nell’equazione del fascio, cioè si ottiene:

, pertanto si è trovata l’equazione della retta d , ossia la retta del fascio che passa per il punto P.

Ricapitolando si è ottenuto:

 

                                                                

 

 

 

 

 

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