Prof. Mauro
STUDIO DELLA FUNZIONE PARABOLA
QUARTICA
1) Classificazione e Campo di esistenza
Funzione algebrica razionale intera di quarto grado, parabola
quartica, la sua forma implicita è 
.
C. E.:
(simbologia insiemistica) o 
(simbologia topologica).
2) Simmetrie
Si pone 
allora 
ossia 
, quindi la funzione non è simmetrica sia rispetto
all’asse delle ordinate (pari) che rispetto all’origine degli assi cartesiani
(dispari), perché: 
.
3)
Studio del segno
Si pone il secondo membro dell’equazione della funzione maggiore o uguale a zero, cioè:
cioè: 
, pertanto, si può
scrivere:
1 fattore: 
,
2 fattore: 
cioè 
quindi per 
.
Quindi, per 
e per 
la funzione è
positiva, mentre per 
la funzione è negativa.
Infine, per 
e per 
la funzione è nulla.
4) Intersezioni con gli assi cartesiani
ossia passa per l’origine degli assi cartesiani.
interseca l’asse delle x, oltre nel punto 
, anche nel punto 
.
5) Andamento della funzione agli estremi
dell’intervallo del dominio
Poiché l’intervallo di esistenza della funzione è , si calcolano i limiti della funzione negli estremi
dell’intervallo del campo di esistenza. Pertanto, per 
si ha 
.
Il limite dà una forma indeterminata, per eliminare la forma di
indecisione si mette in evidenza la 
di grado massimo, cioè
,
mentre per 
si ottiene che 
.
6) Crescenza e/o decrescenza
Si calcola la derivata prima della funzione, cioè: 
, si pone poi la
derivata prima maggiore o uguale a zero, cioè: 
, ossia: 
, pertanto, si ottiene:
Quindi, la derivata prima è negativa per 
, pertanto, la funzione data è decrescente per , mentre la derivata
prima è positiva per 
, ivi, la quartica è
crescente. Infine, nel punto dove la derivata prima è nulla si ha che la
funzione data è costante, ossia per 
.
7) Massimi, minimi
relativi e flessi a tangente orizzontale
Nell’intorno del valore 1 la derivata prima presenta la seguente combinazione di segni:
pertanto 1 è un minimante,
essendo 
la funzione data ha nel
punto 
un punto di minimo
relativo.
8)
Concavità e/o convessità
Si calcola la derivata seconda della funzione, cioè: 
, si pone poi la derivata seconda maggiore o uguale a zero,
cioè: 
, pertanto si ottiene 
, cioè la disequazione è sempre verificata, quindi la derivata
seconda è sempre positiva, tranne nel punto 
dove si annulla, quindi la funzione data è concava verso l’alto
per tutto l’asse reale.
9)
Ricerca di ulteriori punti di flesso a tangente obliqua
Poiché nell’intorno del valore 0 la funzione non cambia di concavità la curva non ha punti di flesso.
Si osserva che il punto di minimo relativo, precedentemente trovato, è anche un punto di minimo assoluto per la funzione.
10)
Grafico
