I NUMERI RELATIVI
I numeri ai
quali si premette il segno + o il segno
– si chiamano numeri con segno. I
numeri dotati di segno, ai quali si aggiunge lo zero, si chiamano numeri
relativi, in particolare quelli preceduti dal segno + si
chiamano numeri positivi, quelli preceduti dal segno – si
chiamano numeri negativi. I numeri positivi, i numeri negativi e lo zero
formano l’insieme dei numeri relativi. L’insieme dei numeri relativi viene
indicato con il simbolo z
.
Pertanto, un numero relativo è formato da una coppia di
simboli, la prima componente è il segno
+ o – , mentre
la seconda componente è un numero n chiamato modulo o valore assoluto, cioè:
(+ ; n) = + n
indica un numero relativo positivo.
(– ; n) = – n
indica un numero relativo negativo.
Esempi:
(+ ; 6) = + 6
numero relativo positivo, dove il segno è +
mentre 6 è il modulo.
(– ; 1) = – 1
numero relativo negativo, dove il segno è – mentre 1 è il
modulo.
La loro rappresentazione sulla retta orientata dei numeri è
la seguente:
Per confrontare due numeri relativi bisogna considerare la
loro posizione sulla retta orientata, osservando che i numeri sono disposti in
modo crescente, (dal più piccolo al più grande) e si è convenuto di chiamare
positivo il verso da sinistra a destra e negativo quello contrario.
Esempi:
+ 2 è minore di +
5 ( + 2 < + 5)
perchè il numero + 5 si trova a destra del numero + 2 .
– 4 è minore di – 3
( – 4 < – 3) perchè il numero –
3 si trova a destra del numero – 4 .
DEFINIZIONI
DUE NUMERI RELATIVI SI DICONO:
CONCORDI QUANDO HANNO LO STESSO SEGNO
Esempio: + 3
e + 6
DISCORDI QUANDO IL SEGNO E’ DIVERSO
Esempio: + 7 e – 4
UGUALI QUANDO HANNO LO
STESSO SEGNO E LO STESSO MODULO
Esempio: + 8 e + 8
OPPOSTI QUANDO HANNO LO
STESSO MODULO E SEGNO DIVERSO
Esempio: + 2 e – 2
Osservazioni:
Se due numeri relativi sono positivi è più grande quello
con il modulo più grande.
Esempio: + 9 > + 7
Se due numeri relativi sono negativi è più grande quello
con il modulo più piccolo.
Esempio: – 8 > – 10
Il numero zero può essere considerato come l’opposto di se
stesso ed è maggiore di qualunque numero negativo e minore di qualunque numero
positivo, cioè: – n < 0 < + n .
SOMMA ALGEBRICA TRA NUMERI
RELATIVI
Le operazioni di addizione e sottrazione con i numeri
relativi si fondono in un’unica operazione detta somma algebrica.
Si distinguono due casi: se i numeri relativi sono concordi
o se sono discordi.
1) NUMERI RELATIVI CONCORDI:
La somma algebrica di due numeri relativi concordi è un
numero concorde con i dati e che ha per modulo la somma dei numeri.
Esempi:
+ 4 + 9 = + 13
– 6 – 2 = – 8
2) NUMERI RELATIVI DISCORDI:
La somma algebrica di due numeri relativi discordi è un
numero che ha il segno del numero con modulo maggiore e per modulo la
differenza dei moduli
Esempi:
+ 7 – 4 = + 3
– 7 + 4 = – 3
Osservazioni:
La somma di due numeri opposti è zero.
Esempio:
+ 2 – 2 = 0
PRODOTTO ALGEBRICO TRA NUMERI RELATIVI
Si distinguono due casi: se i numeri relativi sono concordi
o se sono discordi.
1)
NUMERI RELATIVI CONCORDI:
Il prodotto algebrico di due numeri relativi concordi è un
numero positivo che ha per modulo il prodotto dei moduli.
Esempi:
( + 7 ) · ( + 4 ) = + 28
( – 7 ) · ( – 4 ) = + 28
2) NUMERI RELATIVI DISCORDI:
Il prodotto algebrico di due numeri relativi discordi è un numero
negativo che ha per modulo il prodotto dei moduli.
Esempi:
( + 7 ) · ( – 4 ) = – 28
( – 7 ) · ( + 4 ) = – 28
Pertanto, il prodotto algebrico tra due numeri relativi si
base sulla seguente regola dei segni:
|
+ · + = + – · – = + |
CONCORDI = + |
|
+ · –
= – – · +
= – |
DISCORDI = – |
Osservazioni:
Per ottenere il prodotto di più numeri relativi si trova il
prodotto dei moduli (valori assoluti) dei fattori e si dà il segno +
o – se i fattori negativi sono in numero pari o
dispari.
Esempi:
( – 2 ) · ( – 4 )
· ( – 3 ) = – 24
( – 2 ) · ( – 4 ) · ( – 3 ) · ( – 5 ) = + 120
POTENZA DI NUMERI INTERI
RELATIVI
Si distinguono due casi: se la base è un numero relativo
positivo o negativo.
1)
NUMERO RELATIVO POSITIVO:
Il risultato di una potenza di un numero relativo positivo
è un numero positivo che ha per modulo la potenza del modulo.
Esempi:
( + 5 )2 =
( + 5 ) · ( + 5 ) = + 25
( + 5 )3 =
( + 5 ) · ( + 5 ) · ( + 5 ) = + 125
( + 5 )4 =
( + 5 ) · ( + 5 ) · ( + 5 ) · ( + 5 ) = + 625
2) NUMERO RELATIVO NEGATIVO:
Il risultato di una potenza di un numero
relativo negativo è un numero che ha per modulo la potenza del modulo, mentre
il segno è + se l’esponente è pari, mentre il segno è – se l’esponente è
dispari.
Esempi:
( – 2 )2 =
( – 2 ) · ( – 2 ) = + 4
( – 2 )3 =
( – 2 ) · ( – 2 ) · ( – 2 ) = – 8
( – 2 )4 =
( – 2 ) · ( – 2 ) · ( – 2 ) · ( – 2 ) = + 16
( – 2 )5 =
( – 2 ) · ( – 2 ) · ( – 2 ) · ( – 2 ) · ( – 2 ) = – 32