Prof. Mauro
ESERCIZIO
Quali sono l’equazioni degli
asintoti della funzione della funzione 
?
La funzione è algebrica
razionale fratta di terzo grado ed è definita 
, quindi presenta due punti di discontinuità (seconda specie)
nei punti di ascissa 
e di ascissa 
. Inoltre, è utile osservare che è una funzione dispari (il
rapporto di due funzioni di cui una dispari e l’altra
pari è una funzione dispari), quindi è simmetrica rispetto all’origine degli
assi cartesiani. La funzione ha un asintoto verticale se si
verifica che: 
, (
e/o 
),
quindi
si calcolano i seguenti limiti:
e 
,
pertanto,
la funzione presenta un asintoto verticali di equazione 
, ed essendo:
e 
,
la
funzione ha un asintoto verticale anche per 
.
La funzione ha un
asintoto orizzontale se si verifica che: 
(a sinistra) e/o 
(a destra),
allora,
si osserva che 
, forma d’indecisione,
quindi
ha senso scrivere: 
, pertanto, non esiste l’asintoto orizzontale (a sinistra),
allora si cerca l’equazione dell’asintoto obliquo (a sinistra), di equazione
generica: 
.
Per trovare il
coefficiente angolare 
della retta si ha:
, forma indeterminata.
Ha senso scrivere: 
, quindi 
.
Ora si trova
l’intercetta 
della retta, cioè:
, f.
i.
Si
può scrivere: 
, quindi 
.
Pertanto,
l’equazione dell’asintoto obliquo è 
, ossia la funzione è asintotica alla bisettrice del primo e
terzo quadrante ( a sinistra).
Analogamente si ha per 
(a destra).
Grafico:
