Prof. Mauro
ESERCIZIO
Di tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, qual è quello di area
massima?
Si disegna un rettangolo qualunque ABCD, di
base AB e di altezza BC e si suppone che il perimetro sia uguale a 2p. Inoltre,
se si pone la base 
si ha che l’altezza 
, ossia:
Si trova l’area della figura in funzione
delle dimensioni, ossia 
, cioè: 
(funzione “Area”).
Si calcola la derivata prima della
funzione, cioè:
.
Affinché la funzione “Area” ammetta massimo bisogna porre la sua
derivata prima uguale a zero, ossia:
.
Il valore 
è un massimante,
infatti la derivata seconda della funzione è sempre negativa, ossia 
. Quindi il massimo valore che la funzione può assumere è 
, cioè l’area del rettangolo ABCD.
Si è trovato che la base 
e che l’altezza 
, quindi la base e l’altezza sono congruenti, ossia per il rettangolo dato
diventa un rettangolo particolare che ha tutti i lati congruenti, cioè un
quadrato.
Pertanto, di tutti i rettangoli aventi lo
stesso perimetro quello di area massima è il quadrato.
