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Prof. La Barbera Mauro

ESERCIZI SVOLTI SULLA PARABOLA

1)   Determinare l'equazione della parabola passante per i punti ,  e . Tracciare, inoltre, il grafico della curva.

 

Ricordando che le coordinate di un punto della parabola sono le soluzioni dell’equazione associata alla curva, per determinare l’equazione della parabola bisogna risolvere il sistema formato da tre equazioni in tre incognite. Le equazioni del sistema sono ottenute sostituendo, rispettivamente, nell’equazione canonica della parabola  le coordinate dei punti A, B e C.

Ossia:

 

Ordinando il sistema si ottiene:

 

Applicando, ad esempio, il metodo di sostituzione si ottengono le seguenti soluzioni:

 

 

 

Ossia l’equazione della parabola è

 

 .

 

Graficamente, si ha:

 

 

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2) Determinare l'equazione della parabola  avente il vertice in  e passante per .    Tracciare, inoltre, il grafico della curva.

 

Primo metodo

Sapendo che l’ascissa del vertice è data dalla seguente formula: , si impone l’uguaglianza con il valore corrispondente dato, cioè:

 

, ossia  .

 

Inoltre, si impone la condizione di appartenenza del punto V alla curva (), ossia le coordinate del punto V sono le soluzioni dell’equazione della parabola, cioè:

 

. ossia  .

 

Infine, si impone la condizione di appartenenza del punto P alla curva (), ossia le coordinate del punto P sono le soluzioni dell’equazione della parabola, cioè:

 

 ossia

 

Pertanto, si mettono a sistema le tre equazioni ottenute:

 

 

Applicando il metodo di sostituzione e sapendo che  e  si ottiene:

 

 , ossia

 

Ossia l’equazione della parabola è

 

 .

 

Secondo metodo

   Si può arrivare alla stessa conclusione, se si applica la seguente formula:

 

 

   dove  e  indicano, rispettivamente, l’ascissa e l’ordinata del vertice.

 

   Per applicare la formula suddetta, conviene procedere nel seguente modo:

 

   1°passaggio: sostituire nella formula le coordinate del vertice, ossia:

 

,

 

   2°passaggio: sostituire nella relazione precedente le coordinate del punto P, ossia:

 

,

   da cui si deduce

 

 cioè

 

   3°passaggio: sostituire il valore di A nella relazione del 1°passaggio, ossia:

 

,

 

   ossia

 

 

 

   cioè l’equazione della parabola  è

 

 .

 

   Graficamente, si ha:

 

 

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