Prof. Mauro La Barbera
Dominio di una funzione
Il dominio o campo di esistenza di una funzione è
l’insieme di tutti i valori reali che si possono attribuire alla variabile x
per determinare i valori corrispondenti della y, ossia le rispettive
immagini f(x).
Se la funzione è algebrica razionale intera il campo di esistenza è tutto
l'asse reale, pertanto il dominio è l'intervallo che va da meno infinito a più
infinito estremi esclusi, cioè -∞ <
x < +∞ .
Se la funzione è algebrica razionale fratta il campo di esistenza è tutto
l'asse reale tranne i valori reali che annullano il denominatore della
frazione.
Se la funzione è algebrica irrazionale allora si distinguono due casi:
se la radice è di indice pari (ad esempio la radice quadrata) il dominio della
funzione è dato dai valori della x che rendono il radicando positivo o
uguale a zero, mentre se la radice è di indice dispari (ad esempio la radice
cubica) il dominio della funzione è tutto l'asse reale.
Se la funzione è trascendente esponenziale della forma y = ax con la base a
> 0 il dominio è tutto l'asse reale, mentre se è della forma complessa y
= A(x)E(x) allora la base A(x) deve essere
necessariamente positiva, inoltre se A(x) e B(x) sono forme
polinomiali allora per esse valgono le stesse limitazioni suddette per le
funzioni algebriche.
Se la funzione è trascendente logaritmica della forma y = logax
, con a > 0 e a ≠ 1, allora il dominio è definito per tutti i valori
reali positivi della x (argomento del logaritmo), mentre se è della
forma complessa y = logaP(x), con
a > 0 e a ≠ 1, e P(x) è una forma polinomiale
allora per essa valgono le stesse limitazioni suddette per le funzioni
algebriche.
Se la funzione è trascendente trigonometrica (o goniometrica) della forma y
= sen x o y = cos x il dominio è tutto l'asse reale (si
ricorda che entrambe sono funzioni periodiche di periodo 2π).
Se la funzione è trascendente trigonometrica della forma y
= tg x , essendo periodica di periodo π, allora
il dominio è dato da tutti i valori della variabile x con x ≠ π/2 + kπ (con k numero
intero), mentre se la funzione è trascendente trigonometrica della forma y = ctg x , essendo periodica di periodo π, allora il dominio
è dato da tutti i valori della variabile x con x ≠ kπ.
Se le funzioni trascendenti trigonometriche sono date nelle
forme complesse bisogna considerare le diverse restrizioni di esistenza per
poter stabilire il dominio.